Stern mit PHP erstellen - Mathematische Formeln

2. Mathematische Formeln

Als Ansatzpunkt für die Berechnung nahm ich die Tatsache, dass die 5-Ecke die Kreise in den Koordinaten der Eckpunkte berühren. Ausgehende vom Mittelpunkt kann man somit nämlich mit Hilfe des Radius eines Kreises und unter Verwendung von Sinus und Kosinus die Entfernung eines Punktes von Mittelpunkt des Kreises aus berechnen. Weil das schlecht vorstellbar ist, habe ich wieder ein paar Skizzen dazu angefertigt.



Wie man sehen kann, habe ich den äußeren Kreis sowie dessen 5-Eck in ein Koordinatensystem gezeichnet. Das grüne Dreieck zeigt den Weg zu einer Sternspitze. Da mich die Koordinaten dieses Punktes interessieren, muss ich irgendwie an den roten X- und Y-Wert herankommen. Hier kommen Sinus und Kosinus ins Spiel, denn es liegt ein rechtwinkliges Dreieck vor, dessen Hypotenuse wir kennen - Dank dem Radius des Umkreises.

Zur Erinnerung:

X (siehe Skizze) => Ankathete
Y (siehe Skizze) => Gegenkathete

cos($winkel) = Ankathete / Hypotenuse
sin($winkel) = Gegenkathete / Hypotenuse

bzw.:

cos($winkel) = X / r
sin($winkel) = Y / r

da wir X und Y suchen, müssen wir die Terme noch umstellen:

X = cos($winkel) * r
Y = sin($winkel) * r

Was uns jetzt noch fehlt ist der jeweilige Winkel. Der lässt sich jedoch leicht ermitteln, wenn man bedenkt, dass es sich um ein regelmäßiges 5-Eck handelt. Alle Eckpunkte sind demnach gleichweit voneinander entfernt und haben den gleichen Winkelabstand. Bei 5 Ecken berechnet sich dieser einfach, indem man 360° / 5 (Ecken) teilt. Man erhält einen Winkelabstand von 72°.

Wenn man davon ausgeht, dass der erste Punkt bei 0° bzw. 360° beginnt, kann jeder weitere Winkel für die Sinus bzw. Kosinusrechnung berechnet werden.

Dieses Bild veranschaulicht das:



Nun haben wir alle erforderlichen Daten, um die Eckpunkte zu berechnen und können eine Funktion schreiben.

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